Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Najpierw przeczytaj to jest mottem, które może pomóc ci w osiągnięciu sukcesu w szkole i w życiu. Oznacza ono, że należy najpierw przeczytać cały tekst lub wszystkie istotne informacje, zanim się do czegoś przystąpi. Jest to szczególnie ważne w sytuacjach, gdy materiały szkolne lub inne informacje mają duży wpływ na wyniki lub wyniki. Przeczytanie materiałów szkolnych i przygotowanie się do egzaminów wymaga wielu godzin ciężkiej pracy, ale może być bardzo opłacalne. Najpierw przeczytaj to jest również dobrym przypomnieniem, że można uczyć się, czytać o czymś i zadawać pytania, zanim się zdecyduje, co zrobić. To przypomnienie może być również używane jako mocne słowo ostrzeżenia przed pośpiechem, kiedy najpierw trzeba czytać i zrozumieć informacje, zanim się do czegoś przystąpi.

Ostatnia aktualizacja: Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Przypomnijmy najpierw niektóre wzory na pola wielokątów z wykorzystaniem funkcji sinus:

Wzory na pola wielokątów z wykorzystaniem funkcji sinus
Trójkąt o bokach długości $a$ , $b$ i kącie między nimi $α$ .	$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α$
Równoległobok o bokach długości $a$ , $b$ i kącie między nimi $α$ .	$P = a \cdot b \cdot \sin α$
Równoległobok o przekątnych długości $d_{1}$ , $d_{2}$ i kącie między nimi $γ$ .	$P = \frac{1}{2} \cdot d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin γ$
Romb o boku długości $a$ i kącie $α$ .	$P = a^{2} \cdot \sin α$

Przykład 1

Pole równoległoboku o kącie ostrym $75 °$ wynosi $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ . Obliczymy długości jego boków, jeśli pozostają one w stosunku $1 : 2$ .

Rozwiązanie

Oznaczymy długości boków równoległoboku przez $x$ i $2 x$ . Zatem:
$4 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) = x \cdot 2 x \cdot \sin 75 °$ .
Korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów wyznaczymy $\sin 75 °$ :
$\sin 75 ° = \sin (30 ° + 45 °) = \sin 30 ° \cdot \cos 45 ° + \sin 45 ° \cdot \cos 30 ° = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .
Zatem:
$4 (\sqrt{2} + \sqrt{6}) = 2 x^{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$
$x^{2} = 8$
$x = 2 \sqrt{2}$

Boki równoległoboku mają długości: $2 \sqrt{2}$ i $4 \sqrt{2}$ .

Przykład 2

Pole koła wpisanego w romb o kącie ostrym o mierze $60 °$ wynosi $18 π$ . Wyznaczymy pole tego rombu.

Rozwiązanie

Wysokość rombu, w którym wpisano koło o promieniu długości $r$ , jest równa $h = 2 r$ :

R12zPSh3WuL4C

Wyznaczymy długość promienia koła wpisanego w romb:
$18 π = π \cdot r^{2}$
$18 = r^{2}$
$r = 3 \sqrt{2}$
Zatem wysokość tego rombu ma długość: $h = 6 \sqrt{2}$ .
Wykorzystamy definicję sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnymsinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

$\sin 60 ° = \frac{h}{a}$
$a = \frac{6 \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{6}$
Obliczamy pole rombu:
$P = {(4 \sqrt{6})}^{2} \cdot \sin 60^{\circ} = 16 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \sqrt{3}$ .

Przykład 3

Bok $B C$ trójkąta $A B C$ ma długość $3 \sqrt{5}$ , zaś bok $A C$ jest dwa razy krótszy niż bok $A B$ . Sinus kąta ostrego $A B C$ wynosi $\frac{\sqrt{5}}{5}$ . Wyznaczymy pole tego trójkąta, jeśli $(A B) > 3 \sqrt{10}$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1FaJMFoA4G0p

Do wyznaczenia długości boku $A B$ zastosujemy twierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusów:
$x^{2} = {(2 x)}^{2} + {(3 \sqrt{5})}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \cos α$
$x^{2} = 4 x^{2} + 45 - 12 \sqrt{5} x \cdot \cos α$
Wartość $\cos α$ wyznaczymy z jedynki trygonometrycznejjedynki trygonometrycznej:

${(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + \cos^{2} α = 1$
$\cos^{2} α = 1 - \frac{5}{25}$
$\cos^{2} α = \frac{20}{25}$
$\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Zatem:
$x^{2} = 4 x^{2} + 45 - 12 \sqrt{5} x \cdot \frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$3 x^{2} - 24 x + 45 = 0$
$x^{2} - 8 x + 15 = 0$
$(x - 3) (x - 5) = 0$
Stąd: $x = 3$ lub $x = 5$

Tylko dla $x = 5$ długość boku $A B$ jest większa od $3 \sqrt{10}$ , co daje: $(A B) = 10$ .

Pole trójkąta $A B C$ jest równe:
$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = 15$ .

Przykład 4

Obliczymy pole trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość $6$ a miara kąta ostrego wynosi $60 °$ , jeśli promień okręgu opisanego na tym trapezie ma długość $\frac{2 \sqrt{111}}{3}$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

RHVPjnax4XkmZ

Zauważmy, że okrąg opisany na trapezie $A B C D$ jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie $A B D$ . Zastosujemy zatem twierdzenie sinusówtwierdzenie sinusów:
$\frac{d}{\sin 60 °} = 2 R$
$d = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{111}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{37}$

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $D E B$ :

${(a \sqrt{3})}^{2} + {(6 + a)}^{2} = {(2 \sqrt{37})}^{2}$
$3 a^{2} + 36 + 12 a + a^{2} = 148$
$4 a^{2} + 12 a - 112 = 0$
$a^{2} + 3 a - 28 = 0$
$(a - 4) (a + 7) = 0$
$a = 4$ lub $a = - 7 < 0$

Zatem: $(A B) = 14$ .

Stąd: $P = \frac{6 + 14}{2} \cdot 4 \sqrt{3} = 40 \sqrt{3}$

Przykład 5

Udowodnimy, że dla dowolnego czworokąta o bokach długości $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , który można wpisać w okrąg, jego pole wyraża się wzorem:
$P = \sqrt{(p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c) \cdot (p - d)}$
gdzie $p$ oznacza połowę obwodu czworokąta.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1T9ijqr04XYt

Czworokąt $A B C D$ jest sumą trójkątów $A B C$ i $A C D$ , zatem: $P = P_{Δ A B C} + P_{Δ A C D} = \frac{1}{2} a d \cdot \sin α + \frac{1}{2} b c \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot (a d + b c) \cdot \sin α$

Ponieważ na czworokącie $A B C D$ da się opisać okrąg, to $(∢ A B C) = α$ i $(∢ A D C) = 180 ° - α$ .

Stosując dwukrotnie twierdzenie cosinusów otrzymujemy:
$e^{2} = a^{2} + d^{2} - 2 a d \cdot \cos α$
$e^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (180 ° - α)$

Zatem:
$a^{2} + d^{2} - 2 a d \cdot \cos α = b^{2} + c^{2} + 2 b c \cdot \cos α$ , co daje: $2 b c \cdot \cos α + 2 a d \cdot \cos α = a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}$ i stąd: $\cos α = \frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 (b c + a d)}$

Zastosujemy następnie jedynkę trygonometryczną:
$\sin^{2} α + {(\frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 (b c + a d)})}^{2} = 1$
$\sin^{2} α = 1 - {(\frac{a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 (b c + a d)})}^{2}$ $\sin^{2} α = 1 - {\frac{(a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})}{4 {(b c + a d)}^{2}}}^{2}$

Zauważmy, że:
$p^{2} = \frac{1}{4} \cdot {(a d + b c)}^{2} \cdot \sin^{2} α$

Zatem:
$p^{2} = \frac{{(a d + b c)}^{2}}{4} \cdot (1 - \frac{{(a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2}}{4 {(b c + a d)}^{2}})$
$p^{2} = \frac{{(a d + b c)}^{2}}{4} \cdot (\frac{4 {(b c + a d)}^{2} - {(a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2}}{4 {(b c + a d)}^{2}})$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot (4 {(b c + a d)}^{2} - {(a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2})$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot ({(2 (b c + a d))}^{2} - {(a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})}^{2})$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot (2 (b c + a d) + b^{2} + c^{2} - a^{2} - d^{2}) (2 (b c + a d) + a^{2} + d^{2} - b^{2} - c^{2})$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot (b^{2} + c^{2} + 2 b c - (a^{2} - 2 a d + d^{2})) (a^{2} + 2 a d + d^{2} - (c^{2} - 2 b c + b^{2}))$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot ({(b + c)}^{2} - {(a - d)}^{2}) ({(a + d)}^{2} - {(b - c)}^{2})$
$p^{2} = \frac{1}{16} \cdot (b + c - a + d) (b + c + a - d) (a + d - b + c) (a + d + b - c)$

Oznaczmy przez $2 p$ obwód czworokąta: $2 p = a + b + c + d$ .

Mamy zatem:
$2 p - 2 a = a + b + c + d - 2 a = b + c + d - a$
$2 p - 2 b = a + b + c + d - 2 b = a + c + d - b$
$2 p - 2 c = a + b + c + d - 2 c = a + b + d - c$
$2 p - 2 d = a + b + c + d - 2 d = a + b + c - d$
$p^{2} = \frac{1}{2} \cdot (2 p - 2 a) \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 p - 2 d) \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 p - 2 b) \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 p - 2 c)$
$p^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 (p - a) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (p - d) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (p - b) \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 (p - c)$
$p^{2} = (p - a) (p - b) (p - c) (p - d)$
$p^{2} = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d)}$

Słownik

sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej

twierdzenie cosinusów

w dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków przez cosinus kąta leżącego między nimi

jedynka trygonometryczna

dla dowolnego kąta $α$ suma kwadratów wartości sinusa i cosinusa tego kąta jest równa $1$

twierdzenie sinusów

w dowolnym trójkącie stosunek długości boku do sinusa dowolnego kąta jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na trójkącie

To fanfiction zawiera spoilery z różnych części HP, ale zwłaszcza z Insygni Śmierci, bo tam Billa było najwięcej. Zalicza się do połączonych fanfiction.

To fanfiction będzie pisane nieco inaczej niż moje wszystkie dotychczasowe, będzie nieco krótsze, krótsze będą rozdziały i... no dosyć specyficznie będzie to pisane. Liczę, że się spodoba.

Żadnego Bill x Fleur.

Miłego czytania!

Dodany: 04. 01. 2017 08:21|

Codziennie do firm wydających książki, szczególnie tych największych, trafia po kilka propozycji wydawniczych bardzo różnej jakości. Wiele jest pozycji słabych lub średnich, są jednak także wartościowe, interesujące, spośród których czasem coś trafia do publikacji. Książki, których wydawcy nie zdecydowali się drukować (a jest ich oczywiście zdecydowana większość), pozostają – nieczytane – w szufladach, a raczej w komputerach ich autorów. A szkoda, bo jest wśród nich zapewne wiele pozycji wartościowych, a nawet, być może, wybitnych.

Inna kategoria książek, które praktycznie nie funkcjonują w dzisiejszym czytelniczym obiegu, to te wydane 10, 20, 30 lat temu. Bieżąca oferta księgarni stacjonarnych czy internetowych zdominowana jest przez nowości, rzeczy napisane w ciągu kilku ostatnich lat. To naturalne zjawisko powoduje jednak, że dawniej wydane książki w większości przypadków nie są w ogóle dostępne. Kolejne pokolenia czytelników, jeśli nie zainteresują się biblioteczką swoich rodziców lub dziadków, nie wiedzą nawet o ich istnieniu. Liczba tych wydanych kilkanaście czy kilkadziesiąt lat temu książek jest ogromna, o wiele większa niż dostępna w księgarniach bieżąca produkcja.

Szansą na dotarcie do szerokiego grona czytelników dla tych odrzuconych przez wydawców lub dawniej wydanych pozycji jest nowo powstały serwis internetowy NajpierwPrzeczytaj. pl, który pojawił się w sieci na początku grudnia 2016. Każdy może z niego bezpłatnie pobierać e-booki, z których większość jest dostępna we wszystkich najpopularniejszych formatach, czyli PDF, EPUB i MOBI.

Dostępne w serwisie NajpierwPrzeczytaj. pl e-booki są w nim umieszczane przez ich autorów lub, w przypadku, gdy autor już nie żyje, przez ich spadkobierców. Serwis nie pobiera od nich żadnych opłat. Przeciwnie, wbudowano w nim mechanizmy, które umożliwiają czytelnikom przekazywanie autorom lub ich spadkobiercom dowolnych kwot pieniędzy tytułem darowizny. I właśnie do tego nawiązuje nazwa serwisu. Czytelnicy mogą także oceniać udostępniane w serwisie e-booki oraz publikować w nim ich recenzje. Informacja, jak to zrobić (w formie odpowiednich linków) nie tylko znajduje się na stronach internetowych serwisu poświęconych poszczególnym e-bookom, ale także jest dołączana do każdego pobranego pliku z e-bookiem.

Pobrane z NajpierwPrzeczytaj. pl e-booki można przekazywać dalej. Jest to nie tylko dozwolone, ale nawet polecane. Dzięki temu czytelnictwo interesujących pozycji będzie systematycznie rosło, bo przecież tylko książki, które się nam spodobały przekazujemy innym z odpowiednią rekomendacją.

NajpierwPrzeczytaj. pl to szansa dla odrzuconych albo trochę już zapomnianych książek. Jego twórca, Jacek Chołoniewski, apeluje do wszystkich autorów lub ich spadkobierców o udostępnianie tych książek szerokiej publiczności poprzez umieszczanie ich na NajpierwPrzeczytaj. pl. Na publikację zdecydowali się już m. in. Zbigniew Kruszyński, Joanna Szczepkowska, Jacek Pałka, Jaś Kapela, Jacek Santorski, Tomasz Hipsz i Barbara Faron.

Źródło: Jacek Chołoniewski

Grafika: oficjalne logo serwisu

Najlepsze książki

Biblionetka potrzebuje opiekunów

Recenzje

Użytkownicy polecają:

Dodany: 18. 2023 13:59

Autor: Que_Sabe

Tej jesieni pojawiła się biała wrona

Do twórczości Marlen Haushofer mam stosunek skrajnie nieobiektywny. W książkach austriackiej pisarki odnajduję własne emocje, własną wrażliwość i włas (... )

Zobacz więcej

Zobacz wszystkie »

Dodany: 12. 2023 00:04

Autor: idiom1983

O tym, jak peerelowski Werter żył szybko, kochał mocno, ale bynajmniej młodo nie umarł...

Typ recenzji: oficjalna PWNRecenzent: idiom1983 (Krzysztof Gromadzki)Dokładnie sześćset lat temu, w 1423 roku, osiadły we Florencji malarz Gent (... aspx? id=1248115">Zobacz więcej

Dodany: 17. 11. 2022 17:08

Autor: dot59

Czy to język - i czyj - okazał się winien?

Całkiem nierzadko zdarza mi się żywić ponadprzeciętny opór przed czytaniem konkretnej książki, nawet lubianego autora. Bo, na przykład, wiem, że posłu (... aspx? id=1244799">Zobacz więcej

Dodany: 14. 2022 22:48

Nie chciał być celebrytą

Nie czytałam wszystkich dzieł Steinbecka i niektórych prawdopodobnie nie przeczytam nigdy, bo na przykład „Złota czara” należy do gatunku, który mnie (... aspx? id=1244677">Zobacz więcej

Dodany: 06. 09. 2022 12:55

Nie-ludzie też zasługują na godne życie

Kiedy byłam mała, w telewizji nie można było jeszcze oglądać rewelacyjnych filmów przyrodniczych Sir Davida Attenborough i innych podobnych twórców; e (... aspx? id=1240612">Zobacz więcej

PoprzedniNastępny

Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Ostatnia aktualizacja: Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Słownik

Tej jesieni pojawiła się biała wrona

Bezpośredni link do pobrania Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Ostatnia aktualizacja Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Ostatnia aktualizacja: Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Słownik

Tej jesieni pojawiła się biała wrona

Bezpośredni link do pobrania Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Ostatnia aktualizacja Najpierw przeczytaj to. C A R D 60

Komentarz

Zostaw komentarz